Diseño con Matlab: filtro activo de banda eliminada

El tipo de circuito motivo de este trabajo puede ser aplicado a la eliminación de cualquier frecuencia en un ancho de banda especificado y dentro de la banda de audiofrecuencias, por ejemplo frecuencias como 100 Hz o 50 Hz o cualquier otra frecuencia espuria. En este trabajo se ha tomado un ancho de banda de eliminación de 10 Hz.

Para el cálculo me he basado en la siguiente plantilla donde el “eje y” de la atenuación creciente en el sentido de la flecha el valor −3dB significa ganancia de 3 dB que deberá satisfacer el filtro tanto en bajas como en altas frecuencias una vez hecha la conexión en cascada de las etapas:

Para el ejemplo de diseño he adoptado la característica de banda eliminada por ser la configuración menos tratada, incluso a veces maltratada, en el ámbito de los filtros, un importante aporte es la utilización de un entorno de programación científico muy reconocido como sin duda lo es Matlab.

También es interesante mencionar el aplicar estructuras SAB (Single Amplifier Biquad) como la Boctor que utilizo en este proyecto; este tipo de estructuras permiten obtener unas prestaciones excelentes a pesar de trabajar en un circuito de un único Amplificador Operacional (AO de ahora en más) por etapa. Las dos configuraciones empleadas son la de paso bajo Notch (LPN) y la de paso alto Notch (HPN). Estas estructuras son necesarias en los filtros de banda eliminada por la necesidad de hacer coincidir los ceros de transmisión de todas las secciones intervinientes en un mismo punto, es decir en la misma frecuencia que se conoce como “frecuencia de eliminación”.

Desde el punto de vista del diseño las estructuras SAB del tipo “General Biquad” tales como las de Friend, Dlyiannis o Boctor se sintetizan planteando un sistema de ecuaciones cuya solución es muy laboriosa ya que se trata de ecuaciones no lineales y se puede incurrir fácilmente en incoherencias tales como resistencias negativas o componentes imaginarios.

Un problema añadido es que se dispone de mayor número de incógnitas que los datos de las especificaciones.

La transferencia genérica de las secciones

En la síntesis de cada sección se parte de la transferencia genérica bicuadrada cuya expresión típica en el plano “s” es la siguiente (1)

En dicha expresión h es la ganancia de la sección, b0 el cuadrado de la pulsación de eliminación, wz2 donde wz (rad/s) = 2π fz, siendo fz la frecuencia de eliminación expresada en hercios que se denomina “Cero De Transmisión” (CDT de ahora en más).

Por su parte b1, el coeficiente lineal del numerador, debe ser anulado mediante una cuidadosa síntesis de los componentes para conseguir el CDT de la transferencia de cada sección y además que ese CDT se produzca en la misma frecuencia para todas las secciones intervinientes, condición “sine qua non” en el caso que nos ocupa que es un filtro de banda eliminada.

El coeficiente a0 corresponde al cuadrado de la pulsación de los polos de la transferencia bicuadrada wr2 donde wr (rad/s) = 2π fr siendo fr (Hz) la frecuencia de resonancia de dichos polos. El coeficiente a1 = wr / Q , donde Q es el factor de calidad de los polos que depende de la posición de dichos polos en el diagrama de polos y ceros del plano “s” de la aproximación que utilicemos, en este caso será una aproximación de Butterworth (máxima planicidad).

En el proceso de síntesis de cada sección se suelen imponer ciertos componentes ya que, como dije más arriba, el número total de componentes supera al número de ecuaciones disponibles en los datos; el proceso se complica mucho y en la bibliografía se carece de ejemplos reales de diseño para este tipo de estructuras. Afortunadamente para las estructuras Boctor utilizando normalización tanto en impedancia como en frecuencia se puede llegar a buen puerto aplicando el “algoritmo de Cioffi”.

Trataré de no abundar en detalles más allá del filtro que nos ocupa que será de orden par, n=2 o n=4, es decir una formación de dos o cuatro secciones bicuadradas en cascada. En el caso de filtros de orden impar, n=3 ó n=5 se requiere una sección adicional siendo una opción la estructura Rauch de paso banda con amplificador sumador (en dicha estructura intervienen 2 AO’s) pero el tema queda fuera del la intención de este artículo y lo dejamos para uno posterior por razones de claridad. En el caso que nos ocupa, sobre la base de las especificaciones determinamos el orden del filtro resulta n=2 lo que requiere, de acuerdo con nuestra elección particular para este diseño, de dos estructuras Boctor, una de ellas de paso bajo (LPN) con un CDT en fz, Figura 2a y otra de paso alto (HPN) con CDT en la misma frecuencia fz como se observa en Figura 2 b.

El Algoritmo de Geffe

El primer paso en el diseño de filtros activos de banda eliminada consiste en la obtención de una serie de parámetros necesarios para la síntesis del filtro y para ello se aplica un algoritmo debido a Geffe. Entre los parámetros más importantes que surgen de la aplicación de este algoritmo se encuentra el Q y las pulsaciones wri , o sea las frecuencias fri, de cada par de polos complejo-conjugados asignados a cada una de las dos secciones. Además es el momento de introducir la ganancia total que se quiere implementar que en nuestro caso será Hn]dB=3 dB, hn en valores naturales, para repartirla entre las secciones, en esto insistiré un poco más abajo.

Llegados a este punto debo hacer una advertencia sobre el Q que en caso de ser muy elevado suele ser la principal causa de que los sistemas se hagan inestables e incluso oscilen. Para el caso de la estructura Boctor HPN con un CDT en fz la restricción absoluta para el Q viene dada por la siguiente desigualdad (2)

 Habida cuenta de que en este caso fz < fr , véase Figura 2b.

Reemplazando nuestros datos resulta la restricción de Q < 6 aproximadamente. En caso de no cumplir con esta condición el cálculo conducirá inevitablemente a resistencias negativas obviamente irrealizables. Además, tal como surge del algoritmo de Geffe, los Q’s de ambas secciones deben ser iguales lo que extiende la restricción a la sección de paso bajo LPN de Boctor.

Resumen del cálculo (surge de la ejecución del programa)

El programa de diseño para la síntesis de este filtro lo comenté con mucho detalle para que el lector interesado pueda consultar el procedimiento de cálculo y esta disponible en redeweb.com en el adjunto: “.m de Matlab” en formato texto para aquellos que quieran seguir el procedimiento.

Conclusiones (Cuadro 1)

Se habrá notado que cuando hablamos de ganancia en dB utilizamos las mayúsculas y cuando hablamos en valores naturales la escribimos en minúsculas, es decir (20log10(h) = H]dB).

La distribución de las ganancias por etapa adquiere en este caso particular aspectos singulares. La ganancia de la etapa LPN, la primera del circuito de la Figura 3, por razones de diseño es muy difícil de ajustar y suele surgir h1 < 1, del Cuadro 1 en valores naturales h1= 0.832227, en estas condiciones la etapa 2 puede y debe incrementar su ganancia h2 de manera tal que la ganancia global alcance el valor especificado que en este caso será de Hn]db=+3dB.

Para encontrar dicho valor necesario de h2 que complemente dicho valor de h1 he procedido como puede verse en el fichero desarrollado band_stop2n3dB. Si ambas etapas tuvieran la misma ganancia la ganancia global sería hn2, si fueran diferentes habría que expresarlas como h1 x h2, ecuación (3).

De donde despejando h2 resulta una expresión genérica, en nuestro n=2, dos secciones, y del Cuadro 1 resulta el valor h2=1.6973. Es decir tal como surge de la síntesis la ganancia de la segunda etapa viene expresada como h2 = R5 / R45, donde R45=R4//R5, entonces habrá que ajustar los valores de R5 y R45 para satisfacer dicha ganancia tal como he procedido en el presente programa de diseño.

Como comprobación convirtiendo el producto h1 x h2 a dB salen los 3 dB especificados que además se pueden leer claramente en la respuesta del circuito de la Figura 4.

El Cuadro 1 certifica también la anulación de b1 en ambas secciones lo que asegura que los CDT son efectivos y los componentes calculados cumplen dicha condición.

Por su parte las pulsaciones verificadas se corresponden con las especificadas lo que nos da un doble control sobre el correcto cálculo de los componentes. El cuadro también revela la correcta asignación de las ganancias de las etapas. Además el Q=3.18 que surge del Cuadro 1 está por debajo de 6, es decir que está por debajo del límite que impone la restricción de la estructura.

El circuito final (capturado del “Schematics” de la simulación en PSpice)

Los resultados de la aplicación del software que se desarrollo en el entorno Matlab fueron comprobados en el simulador PSpice y posteriormente los componentes montados en una placa impresa muy sencilla cuya disposición también incluyo en el presente trabajo, donde he duplicado los componentes pasivos para una configuración en paralelo de los componentes pasivos cómoda lo que permite una mayor aproximación a los valores teóricos calculados con el programa Matlab.

El circuito simulado puede observarse en la figura 3, en la práctica he trabajado con un CI LM324 de cuatro amplificadores operacionales de los cuales utilizo sólo dos. Dicho CI que en mi simulador PSpice no está disponible pero se lo ve en la placa definitiva de la Figura 5a.

No debe sorprender que en el circuito las etapas van en orden inverso respecto del criterio de Van Valkenburg ya que, como detallé antes, en mi caso la etapa HPN (Notch) requiere una mayor ganancia que la LPN (Notch) y podría producir saturación en caso de no respetarse este criterio.

Respuesta en frecuencia (Hz) (del circuito para una ganancia global de 3 dB)

Aunque no es necesario, en previención, se ha bloqueado la componente continua entre ambas etapas con un condensador electrolítico de 100 uF cosa que no afecta apreciablemente la respuesta más allá de uno o dos escasos Hz, hecho que se aprecia en las frecuencias más bajas.

El circuito fue montado en una sencilla placa que se confeccionó al efecto no he hecho un barrido automático de la curva sino punto por punto y como el osciloscopio Tektronix utilizado, no deja mentir la respuesta se acerca a la simulada en aproximadamente un 5%, habida cuenta de que la tolerancia media de los componentes conformados en el prototipo se encuentra en ese orden de tolerancia.

La placa impresa

La placa impresa se muestra en “Top view” en la Figura 5a donde se ven los componentes duplicados para hacer la combinación en paralelo y así aproximar dichos componentes a los valores calculados.

En este caso el circuito fue alimentado desde una fuente dual de ± 5 V. No se puede utilizar una fuente de alimentación única dado que se necesita que el pin no inversor de cada AO quede libre ya que sobre él se aplica señal y/o realimentación según el caso como surge de la Figura 3.

El “printout” se muestra en la Figura 5b a escala 1:1, impresión en PDF.

Nota: las formaciones de componentes conformados en general por dos elementos en paralelo deben ser medidos uno por uno con un polímetro adecuado de lo contrario es imposible conseguir un CDT medianamente aceptable, es una de las complicaciones de los circuitos de banda eliminada.

La placa experimental montada

En la Figura 6 se muestra una imagen de la placa experimental montada en el circuito impreso con su conexión a la fuente dual de alimentación. Se puede ver también el CI LM324 de cuatro amplificadores operacionales, sobre los que hablé más arriba, de los cuales dos quedan inactivos en este proyecto aunque para un número mayor de estructuras en cascada nos viene muy bien disponer de ellos. En la imagen se observa que algunos espacios no llevan componentes, hecho que se debe a que he encontrado el valor ohmico aceptable en un único componente. Puede llamar la atención la existencia de dos condensadores electrolíticos que no figuran en el diagrama de la Figura 3 aunque sí están implementados en el “printout”, se usan para bloquear la componente continua en las mediciones.