¿Qué es una función matemática?
Una función matemática (asimismo llamada sencillamente función) es la relación que hay entre una magnitud y otra, cuando el valor de la primera depende de la segunda.
Por poner un ejemplo, si afirmamos que el valor de la temperatura del día depende de la hora a la que la consultemos, vamos a estar sin saberlo estableciendo entre las dos cosas una función. Las dos magnitudes son variables, mas se distinguen entre:
Variable dependiente. Es la que depende del valor de la otra magnitud. En el caso del ejemplo, es la temperatura.
Variable independiente. Es la que define la variable dependiente. En el caso del ejemplo es la hora.
De este modo, toda función matemática consiste en la relación entre un factor de un conjunto A y otro elemento de un conjunto B, siempre y cuando se vinculen de forma única y exclusiva. Por ende, dicha función puede expresarse en términos algebraicos, empleando signos de la próxima manera:
f: A → B
a → f(a)
En donde A representa el dominio de la función (f), el conjunto de elementos de partida, al tiempo que B es el codominio de la función, esto es, el conjunto de llegada. Por f(a) se indica la relación entre un objeto arbitrario a perteneciente al dominio A, y el único objeto de B que le toca (su imagen).
Estas funciones matemáticas asimismo pueden representarse como ecuaciones, acudiendo a variables y signos aritméticos para expresar la relación existente entre las magnitudes. Dichas ecuaciones, por su parte, van a poder resolverse, despejando sus incógnitas, o ser graficadas geométricamente.
Cálculos matemáticos
Los osciloscopios DLM2000 disponen de 2 canales matemáticos (Math1 y Math2), siendo posible utilizar el primero en la definición de la expresión del segundo. La longitud de memoria máxima para los calculus es de 6.25 Megapuntos para cada uno de ellos, y las expresiones pueden contener hasta 128 caracteres.
La lista completa de funciones disponibles, así como su sintaxis, se pueden encontrar en el capítulo 9 de la Guía de Características del equipo (IM710105), que se puede descargar desde: http://bit.ly/MlmSEj Las funciones (excluyendo constantes) se pueden clasificar en 5 grupos.
Funciones matemáticas básicas
Operaciones aritméticas (+, -, *, /), ABS, SQRT, LOG, LN, EXP, P2 y función inversa. Posibles ejemplos de sintaxis son “C1 + C2 + C3”, suma aritmética de 3 señales de entrada, o “LOG(C1)”, logaritmo del canal de entrada 1.
La función “P2(C1)” genera una forma de onda cuadrado del canal 1 (C12), pero además es posible generar una exponencial arbitraria utilizando la función EXP y el logaritmo neperiano LN, p.e., el canal 1 elevado al exponente 0.2 (C10.2) se expresaría “EXP(LN(C1)*0.2)”.
Al poder utilizar en las expresiones no sólo las muestras de la forma de onda, sino también parámetros de ésta, es posible, por ejemplo, mostrar el nivel de una señal de entrada (C1) con respecto a una tensión de referencia (C2). El valor de referencia podría ser el valor máximo de la forma de onda del canal 2, significado por la “P.” en la sintaxis de la expresión que aparece en la imagen de la figura 1.
Funciones matemáticas trigonométricas
Las funciones trigonométricas son SIN, ASIN, COS, ACOS, TAN, ATAN y PH. Como esta última operación (PH) calcula la fase entre 2 formas de onda, su sintaxis implica 2 parámetros, p.e. “PH(C1,C2)”.
Un ejemplo básico de su uso sería la linealización de la salida de sensores con características no lineales, combinando las funciones +, -, *, /, LOG, EXP, SIN, TAN, SQRT, SQR…
Diferenciación e integración
DIFF e INTEG. Ambos operan sobre una forma de onda o una expresión que las contenga.
Si se requiere, por ejemplo, una doble derivada para calcular la aceleración de un objeto, siendo el canal de entrada 1 la posición de dicho objeto, basta con aplicar la función DIFF dos veces: “DIFF(DIFF(C1))”.
Como demuestra este ejemplo, el parámetro de una función puede ser otra función.
Filtros
Los filtros disponibles son: FILT1, FILT2, HLBT, MEAN, DELAY y BIN.
Los ajustes para los filtros digitales preconfigurados FILT1 y FILT2 se definen en su propio menú. Las funciones MEAN y DELAY requieren dos parámetros, siendo el primero la forma de onda: en el caso de MEAN, que calcula la media móvil, el segundo parámetro es una constante, el número de puntos o muestras consecutivas que deben ser tenidas en cuenta para calcular el promedio, por ejemplo, “MEAN(C1,10)”; en el caso de DELAY, el segundo parámetro es el desfase que se quiere aplicar a la forma de onda indicada como primer parámetro.
La function de binarización (BIN) convierte la forma de onda de entrada en valores binarios, utilizando los valores de umbral especificados como parámetros. Al final de este artículo aparece un ejemplo del uso de esta función.
Funciones de ancho de pulso
Las funciones PWHH, PWHL, PWLH, PWLL y PWXX miden la anchura de un pulso, desde un flanco ascendente o descendente hasta el siguiente flanco ascendente o descendente. De esta forma, “H” indica flanco ascendente, “L” descendente y “X” cualquiera de ambos. Aparte de la forma de onda, es necesario especificar otros dos parámetros más: los umbrales mínimo y máximo (Figura 2). Por lo tanto, estas funciones pueden usarse para demodular señales de control moduladas en anchura de pulso (PWM), típicas de inversores y variadores, así como señales moduladas en frecuencia (FM) de encoders de rotación, mostrando así el “movimiento real” (Figura 3)La función FV proporciona la inversa de PWHH, mientras que DUTYH y DUTYL calculan el porcentaje del ciclo de trabajo positivo y negativo, respectivamente.
Conversión D/A
La function DA convierte los valores de entradas lógicas en una forma de onda analógica. Es particularmente útil en combinación con otras funciones de medida del DLM2000, para caracterizar las prestaciones de convertidores A/D y D/A.
Constantes
Es posible introducir números directamente en una expresión. Sin embargo, también hay cuatro constantes predefinidas disponibles, K1 a K4, que pueden emplearse para reducir el número de caracteres utilizados, o para facilitar la introducción de expresiones en aquellos casos en que una constante se usa más de una vez. También es posible usar PI, e (la constante de Euler), FS (tasa del alcance de la muestra), 1/fs (la inversa de la frecuencia de muestreo) y el resultado de una medición de parámetros de forma de onda (notación ‘P.’).
Ejemplo 1
El siguiente ejemplo muestra cómo la precisión de la medida de un parámetro automatizado podría ser mejorada mediante la eliminación de un desplazamiento u offset presente en la forma de onda. Esto se conseguiría midiendo la tensión media de una parte de dicha forma de onda y restándosela a ésta. En el área de pre-trigger de la forma de onda del ejemplo, la tensión debería ser 0 V, pero por alguna razón, el valor medido es en realidad 286 mV. Para eliminar estos 286 mV de la forma de onda, se usan cursores para definir la parte de la onda que debe usarse para calcular la media (en este caso, entre las divisiones -4 y -3, respecto al punto de trigger). Las siguientes medidas se realizarán sobre el canal Math1, ya corregido, en lugar de sobre C1 (Figura 4).
Ejemplo 2
Un usuario necesita medir la distancia entre el centro y el borde izquierdo de una figura de Lissajous, creada mediante la curva X-Y de dos canales de entrada, para determinar de manera automática la calidad de los motores en su línea de producción.
Al montar el volante de inercia y el encoder al motor es necesario ajustar el ángulo de manera muy precisa: la precisión en el ajuste del ángulo se puede determinar a partir de la gráfica X-Y.
Si la placa está conectado correctamente, la gráfica X-Y tendrá la forma adecuada, de círculo, y como resultado la distancia desde el centro hasta el borde izquierdo o derecho será la máxima.
En caso contrario, la gráfica X-Y mostrará una elipse, y la distancia desde el centro hasta el borde izquierdo o derecho será menor.
Por lo tanto, esa distancia indica de manera directa la calidad del producto. Hasta ahora el cliente juzgaba este parámetro de manera visual, pero su intención es automatizar la medida para eliminar el error humano (figura 5)
Pueden utilizarse las funciones matemáticas para generar una nueva gráfica X-Y en la que todos los valores, con excepción del borde izquierdo, se reduzcan a cero, y después utilizar el parámetro “Max” para medir de manera automática esa distancia al borde izquierdo. La nueva forma de onda se generaría en 3 pasos:
1. La function “BIN(C1,1,1)” cambia el valor de C1 a 0 cuando C1<1, y a 1 cuando C1>1. De esta forma, la expresión que se ve en la Figura 6 hace que las muestras del canal 1 inferiores a 1 V mantengan su valor, y las superiores a 1 V tomen un valor de 0 V. (Figura 6)
2. “BIN(C2,0.9,0.9)” convierte a 0 los valores de C2 inferiores a 0.9, y a 1 los valores superiores. Por lo tanto, con la expresión completa indicada en la Figura 7, mantenemos el valor de C1 siempre que éste sea inferior a 1 V y C2 superior a 0.9 V, y obtenemos 0 V en el resto de casos.(Figura 7)
3. De manera similar, “1-BIN(C2,1.1,1.1)” convierte a 0 los valores de C2 superiores a 1.1, y a 1 los inferiores.
Al multiplicar esta expresión por la anterior (obteniendo la que vemos en la Figura 8), convertimos a 0 V cualquier valor de C1 que inicialmente fuera mayor de 1 V, o para el que la muestra correspondiente de C2 sea inferior a 0.9 V ó superior a 1.1 V. (Figura 8)
4. Finalmente, se utiliza Calc1 para medir el máximo de esta nueva forma de onda (Math1), obteniendo así de manera automática la distancia al margen izquierdo de la gráfica X-Y original. (Figura 9)
Resumen
Como demuestra este artículo, es posible utilizar las funciones matemáticas definibles por el usuario para crear formas de onda tan simples o complejas como se quiera, pero que en definitiva resuelvan una amplia gama de requisitos de medida.
